本书是我国著名心理学家林崇德教授几十年来研究智力发展在中小学和幼儿园数学教学中运用的成果。

作者在书中深入浅出地介绍了其智力发展理论，然后通过大量的实例告诉数学教师，在教学中该如何运用智力发展理论来培养学生的思维能力、提高教学效果。

此外，作者还探讨了数据统计处理、数理逻辑和模糊数学等数学方法在智力发展研究中的应用，并通过实例为数学能力研究做出了研究方法上的示范。

1.作者提出的聚焦思维结构的智力理论是在国际心理学界颇有影响的一种智力观，该理论对我国的中小幼教学，尤其是数学学科的教学具有十分重要的理论指导作用；

2.该书既有较高的理论研究价值，又有很强的实践推广价值，书中通过大量的教学实例告诉数学老师该怎样培养学生的思维能力，提高教学效果。

1984年，我在科学出版社出版了《智力发展与数学学习》一书。可能是因为当时的出版物少，所以《智力发展与数学学习》第一年就印了78000册，并参加了德国的法兰克福书展。该书出版后得到了数学教育界、中小学教师、家长和教育理论工作者的肯定。数学教育的老权威魏庚人先生从西安到北京师范大学开会期间，特地到我恩师朱智贤先生府上要走一本《智力发展与数学学习》，并说了许多鼓励的话。我也用这本书的观点指导了我所主持的26个省、自治区和直辖市3000多个实验点的中小学生心理能力发展与培养的实验。

从20世纪90年代中开始,我以《智力发展与数学学习》的理念指导数学能力发展与培养方向的博士研究生，先后带出了章建跃、朱文芳、康武、连四清和赵继源等人。由于他们的数学天赋、原有的学术功底，加上勤奋，他们现在发展得很出色，都成了相关单位数学教育的学术带头人。本书的第五篇登载了他们的博士论文的摘要，从16000字到24000字不等（第十三章作者：章建跃;第十四章作者：朱文芳；第十五章作者：康武；第十六章作者：连四清；第十七章作者：赵继源）。本来是作为附录部分，但是为了与前四篇保持一致，经责任编辑建议，把他们的论文摘要改为五章。

由于教育部课程改革数学新课程标准的催促，由于不少原先参与我教育实验的高校数学老师邀请我去讲当年的智力发展与数学学习观，再由于年过七旬后想整理自己的文集，于是我就坐下来静静地思考，认真地修改起《智力发展与数学学习》这本当年的小册子。

在书稿的修订过程中，我坚持了1984年的基本观点，但是补充了一些新内容：第一，根据国际上对智力研究的新进展，结合我近30年来对中小学生心理能力特别是数学能力的发展与培养实验的成果，对全书的观点做了补充；第二，根据近30年的实验研究，不仅获得了大量的数据，而且也充实了原书的理论，所以原书的七章就扩展为现在的前九章；第三，为了强调数学在心理科学特别是在智力发展中的应用，于是就有了第四篇的三章，也就是数据统计、数理逻辑和模糊数学的应用。

本书前十二章的参考文献以页下注的形式标注，后五章的参考文献则分别放在各章后面。这后五章的参考文献，就作为修订后的《智力发展与数学学习》全书的参考文献。

在成书的过程中，我的弟子章建跃教授为本书中所涉及的数学知识和问题做了校订；弟子白学军教授、辛涛教授和赵继源教授为相关的章节提供了不少有价值的资料。中国轻工业出版社“万千教育”和“万千心理”总策划石铁先生对本书的重新出版给予了极大的支持；责任编辑吴红做了精心的编辑加工。全书手写稿由我们所办公室的陈若夷打字。于此，我一并表示感谢。

林崇德
2011年国庆
于北京师范大学发展心理研究所

四、在数学教学中培养学生的创造力

在中小学数学中，教师要自觉地运用上述创造性（创造力）发展的原则，积极进行创造性教育，开展各种各样的创造性（创新）活动，培养学生的创新意识（精神）、创新能力和实践能力。具体做法有：
（一）古今中外数学家实例与创造力培养

学习数学知识中的故事，包括学习数学家的实例（故事），能激发学生的兴趣，进而增进其创造或创新的精神，投入创造性的数学活动，逐步提高数学学习中的创造力。我曾主编了两年获全国“十大畅销书”的《中国少年儿童百科全书》，该书分为四卷，其中有“科学·技术”卷，设有“数学宝库”的专章。不少中小学校将其作为数学教学的内容，或引导学生课外阅读。

“数学世界的巨匠”展示了世界上最有名的数学家的故事，从信仰“数即万物”的毕达哥拉斯、几何之父欧几里德、第一个算出地球周长的埃拉脱色尼……到我国的数学之圣祖冲之、轰动日本列岛的陈建功、工作到最后一天的华罗庚、第一个获得菲尔兹奖的丘成桐等。这些故事可以让学生了解创造性巨匠的成长规律，从而树立创造力的榜样。

“数学的童年”讲述了数学研究对象的来历、数学之源、泥板的故事、金字塔和纸草书、佛掌上的“明珠”、数学之桥、巴比伦人和古埃及人的数学实践、十进制和二进制的故乡——中国对数学起源的贡献等故事。人类种族进化史与个体发展文明史是密切联系的，“数学的童年”能激发中小学生钻研数学的动力，有助于从小发展创造力。

“丰富有趣的数”讲到的故事太多了，例如含义丰富的0、分数的妙用、小数的经历、负数的引入、无理数的风波、真实的虚数、无限大与无限小、哥德巴赫猜想、悬而未决的费尔玛数等。故事从正确的方面向中小学生提出了一个又一个创造性的问题，引发他们的创造性思考（思维）。“是非难分的悖论”讲述了罗素悖论、说谎者悖论、强盗的难题、“部分也能等于整体吗”、“任一三角形都等腰”、“直角等于钝角”等故事，从反面出发告诉中小学生，假如说一个论断是正确的，那么，无论做怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；同样，假如说某个论断是错误的，那么，无论做怎样的分析、推理，总不会得出正确的结论。创新过程需要排除悖论。

“各式各样”的式，谈了代数式、因式分解、解方程的技巧、丢番图的墓志铭、著名的百鸟问题、韦达公式、恒等式的用处、凫雁问题、鸡兔同笼等；而“形”象万千，谈了数学巨著——《几何原本》、日神提出的难题——倍立方体香案、地面铺砖的学问、三脚架竖立的奥妙（重心）、黄金数与优选法、古老的勾股定理、弧形滑梯与变分法、星形线与折叠式车门、奇妙的墨比乌斯纸环等。上述从数和形两方面所讲的故事式数学题，能启发中小学生在数学学习中不仅学会各种数学知识，而且认识到创新范围的广阔性、丰富性，从而促使他们在日常生活中积极地开展创新活动。

2008年我出席中国科技大学少年班成立30周年庆典并作了大会报告，当我走下讲台时，竟有已毕业多年的少年班学生对我说：“林先生，我从《中国少年儿童百科全书》中早就认识了您……”从中科大少年班学生的成长中可以看出，学点“数学故事”，有助于中小学生的创新精神和创造力的培养。

（二）数学创造力训练与培养

创造力也可以通过数学训练加以培养。在数学课堂教学中，教师可以通过多种形式为学生创造力的发展创造一定的条件。
1.发现式

与一般教学法不同，发现式教学法强调在不依靠教师讲解的情况下，学生通过自己的思考、探索去发现新知识，寻求解决问题的途径和方法。当然，在这一发现过程中，仍然需要发挥教师的指导作用。发现式教学法通常包括以下几个环节：给出问题情境—提出假设—验证假设—归纳、应用、提高。在数学教学中，也就是在教师的指导下，学生通过一些实验或制作一些模型，观察一些图像或表格，在比较、分析、归纳、概括的基础上形成相应的数学命题，获得解决数学问题的方法和途径。
例如，有这样一个例题：

甲、乙两站之间相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65km，一列快车从乙站开出，每小时行驶95km。问：（1）两车同时出发，相向而行，多少小时后相遇？（2）慢车先开30分钟，两车相向而行，快车行驶了多少小时后两车相遇？
教师在讲完例题后，给学生示范编题。比如例题的题干不变，问题改为：慢车先开30分钟，两车相向而行，慢车行驶多少小时后两车相遇？接着，让学生试着以总题干作为已知条件，进行编题，再引导学生把题中的已知条件和所求问题做一交换，最后，根据学生编出的题目，教师从中选出有代表性的几道题让几组同学进行列方程比赛，以此活跃课堂气氛。

2.发散式

发散思维是创造性思维的核心。在数学教学中可充分利用“一题多解”、“多题一解”、“一题多变”等培养学生的创造力。
例如，解答下面的问题：

某玩具厂生产一批儿童玩具，原计划每天生产60件，7天完成任务，实际只用6天就全部完成了。实际每天比原计划多生产多少件玩具？
通常的解法是先求出总任务有多少件，实际每天生产多少件，然后求出实际每天比原计划多生产多少件，列式为：60×7÷6－60=10（件）。而有一个学生却说：“只需60÷6就行了。”理由是：“这一天的任务要在6天内完成所以要多做10件。”从他的回答中可以看出，他的思路是跳跃的，省略了许多分析的步骤。他是这样想的：7天任务6天完成，时间提前了l天，自然这一天的任务也必须分配在6天内完成，同样得60÷6=10，就是实际每天比计划多生产的件数了。这种异于常规、新颖的解题方法正是个体创造力的表现，是需要教师鼓励和赞赏的。

3.创造性问题

创造性问题的解决过程要求个体克服思维定式，从全新的角度进行思考，对问题获得一种新认识，以达到对问题的解决。

图3.2

例如，经常提到的“四棵树问题”，要求学生在一块土地上种植四棵树，使得每两棵树之间的距离都相等。许多同学尝试在一个平面上解决问题，但是不管他们画正方形、菱形、梯形、平行四边形……都行不通。而要解决这一问题，就需要学生突破二维平面的限制，在三维空间构建一个正四面体（如图3.2）。

4.头脑风暴法

头脑风暴法是一种集体开发创造性思维的方法。将这种方法运用于数学教学，可以使学生开阔思路，丰富想象，变被动学习为主动学习，为学生创造性思维的发挥提供空间。教师在采用头脑风暴法进行教学设计时，大致可分为以下几个环节：①设置一个良好的探索或讨论的环境，②提出问题，③在讨论中自我构建，④回归和总结。

例如，在cos（α+β）= cosαcosβ－sinαsinβ这一公式的教学中，教师可以先让学生猜想公式，再让学生证明（“我们如何证明cos（α+β）= cosαcosβ－sinαsinβ”“我们可以利用什么工具将cosα、cosβ、sinα和sinβ联系起来”），学生提出不同的方法，最后由教师进行总结。
（三）数学学习动机与创造力的培养

列夫·托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”强烈的学习数学的动机是学生创造性地开展数学活动的前提。因此，教师不仅要教给学生数学知识，而且要培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的内在动机，保护好学生的好奇心。

近年来，我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛上屡获大奖，令世界惊叹不已。然而，教育进展国际评估组织对21个国家的调查显示，中国孩子的计算能力排名世界第一，而创造力排名倒数第五。这种鲜明的反差不能不引起教育者的思考：为什么我国学生出色的计算能力不能转化为创造能力？我们认为，其中一个重要原因是学生学习动机、学习兴趣的丧失。在长期的机械、应试性的数学训练中，虽然我国学生打下了扎实的知识基础，但与此同时学生学习数学的好奇心和创造力也被扼杀了。2006年美国教育报告中的国际数学学习比较研究有一个有趣的发现：亚洲国家八年级的学生在TIMSS（Trends in International Mathematics and Science Study）数学测试中成绩很高，但有数学学习自信心的人数比例却很低，韩国是6%，日本只有4%；而美国学生在同样的数学测试中成绩不太高，但对数学学习有自信心的学生达39%。因此，对我们教育者来说，在抓好基础知识教学的同时，也需要考虑如何培养学生学习数学的兴趣，而这是学生实现数学创造力的一个前提。当学生发自内心地热爱数学时，他的创造力才能被激发出来。
具体来说，教师可以通过多种途径来激发学生学习数学的动机。

例如，教师在讲授“圆周角”时，可以让学生动手操作，把细绳一端用图钉固定在硬纸板上，另一端系着笔，把绳子拉直画一圈就会画出一个圆，接着让学生把绳子换成橡皮筋再画，结果画不成一个圆。这时，教师抛给学生两个问题：“为什么画不成？”“形成一个圆需要具备哪些条件？”通过这种动手操作，数学不再是枯燥的、抽象的概念和定理，而是和学生的生活紧密结合的有用的学科。在这一过程中，不仅学生学得高兴，也有利于培养学生的创造力。
再如，教师在教学“表面积”时，可以设计这样一道题：将长、宽、高分别为3、4、5的两个长方体形状的巧克力包成一包，可能有几种不同的包装方法？哪种方法包装最省纸？这种来源于生活的例子，不仅激发了学生的学习兴趣，也为他们提供了丰富的想象空间，有利于他们创造力的培养。

（四）数学知识传授与创造力的培养

数学学科起源于人类的生产和生活实践，其本身就体现着创新的思想，包含着无穷的魅力。中小学数学中所涉及的算术、代数和几何等内容，都是人类在长期的实践过程中，从简单到复杂，一步步发展起来的，充分体现了人类的智慧。

比如，在数学中有“用字母表示数”的学习内容，虽说理解了相关内容之后，我们会感到很简单，但就是这么一种简单的表示，却是人类认识的一次飞跃，它将人类认识世界的视角从数字领域迁移到代数领域，实现了由算术向代数的转化，因此也使人类在解决实际问题时实现了由静态思维向动态思维的转变。对于儿童青少年而言，掌握了这部分知识，不单意味着其理解了相关的知识，同时也意味着其思维水平实现了从具体思维向形式思维的飞跃，实现了思维水平的一次跨越。

再比如，负数部分也体现了人类理性的一种跨越——从正数到零，再由零到负数。儿童青少年理解了其意义，也就扩展了其有关数的理解范围，建构出有理数的概念，也因之完成了一次高度抽象性的思维升华——这些都是由数学知识本身的飞越而促成的理性突破。

正如前文所言，数学是思维的体操，无论是接受数学知识，还是运用所学数学知识解答问题，对于学生而言，都是一个创造的过程。一则他们在接受数学知识特别是新的数学知识时，是在其最近发展区实现知识的增长以及能力的提升，这无疑是一种基于旧有知识而进行的创新变式。比如在学习初步的立体几何知识时，会由单纯的二维平面思维逐步转变为三维立体思维，这种转变过程就体现了一种跨越和创新，从一个旧的问题思考模式转变为一个新的问题思考模式。二则在吸纳新知识、形成新认识之后，学生会自觉不自觉地运用这些知识尝试解决新问题，甚至发现更新的问题。比如在学习了平行四边形面积公式后，学生可以自己尝试推导菱形面积公式，通过比较二者的异同，进一步理解图形的性质和含义，从而在更牢固地掌握相关知识的基础上，实现更深入学习新知识的能力提升。

（五）数学实践与创造力的培养

数学是一门实用性很强的学科，其强大的生命力也正是建立在其实用性基础之上的。鉴于课堂教学模式的限制，学生在学完数学知识、解决相关问题时，一般只能通过解答应用题“模拟”解决实践问题，但即使如此，也能提升其创造力。比如，在解决有关时间、速度和距离的数学应用题时，虽然学生不能身临其境地完成相关行程，但题目本身提供的情境以及由此而生发的对于解答实际问题的兴趣，使得他们也能完成相关的知识学习和能力提升，也因为解题本身而增强其应用数学知识的兴趣，从而为未来解决真实的实践问题奠定了基础。

除上述这种相对被动的学习模式外，在中小学数学教学中，也涉及编制应用题的学习内容，这对学生提出了更高的创新要求，因为编制数学应用题，不仅需要学生理解相关的数理知识，而且需要他们具备较强的逻辑表达能力。这一从知识储备到知识释放的过程无异于一次创造发明的过程——从理解相关知识，到审题立意，形成相关表象，再到具体思维操控，直至编出题目，和一项新发明的产生别无二致。有心理学研究表明，这样的学习模式能够有效地提高学生的数学学习成绩，提高其应用题解题能力。

随着新课改的实施和先进教学手段的引入，新的教学模式也走进了数学课堂，研究性学习和创设问题情境的学习就是其中的代表性模式。

比如，在学习完统计知识后，教师可以让学生分组去调查学校某年级学生的身高、体重等，通过对数据的收集、整理和分析，向全班同学汇报调查的结果，使学生能够真正学以致用，激发其学习数学的兴趣，培养其迁移知识的能力，从而奠定其创新能力的基础。

再比如，在教学“小数的性质”时，可以在课前预先布置学生到超市或商店里了解各种商品的价格。上课时，先听取学生的汇报，教师有意识地记录一些带小数的商品价格，然后启发学生通过不断转移小数点的位置发现价格的变化，直到最终学生能够自己“创设”价格，自己不断比照所定价格的差异。这算是一个从创设实际问题的情境中，提高儿童数学学习能力和创造力的生动实例。