简明扼要是本书一大特色。秉持将“难懂”的数理逻辑以通俗易懂的方式介绍给一般读者的理念，几位作者精选数理逻辑中最典型的思想，生动地介绍了数理逻辑发展史、谓词演算的完全性、模型论、图灵机与递归函数、哥德尔不完全性定理、集合论等。相对独立的章节是本书另一大特色。全书各章之间不存在紧密的层级关系，读者可根据理解的程度，暂时跳过某些章节，待需要时再返回重新阅读。这种写作方式有助于读者在短时间内掌握数理逻辑的主要内容，奠定进一步学习逻辑、数学、计算机科学等知识的基础。

数理逻辑领域长销40余年的经典普及之作

以简洁又有趣的方式介绍“难懂”的数理逻辑

以专业而严谨的视角讲述数理逻辑典型思想

为学习逻辑、数学、计算机科学等奠定基础

作者简介

约翰·N．克罗斯利（John N. Crossley）　英国数学家、逻辑学家。1963年于牛津大学获得哲学博士学位与数学硕士学位。毕业后成为牛津大学第一位数理逻辑教师，牛津大学万灵学院研究员。自1968年起，长期任教于澳大利亚莫纳什大学，并于2010年成为该校荣休教授。

主要研究领域为逻辑、数学和计算机科学。著有《构成性序型》（Constructive Order Types，1969）、《数理逻辑是什么》（What Is Mathematical Logic?，1972，合著）、《组合函子》（Combinatorial Functors，1974，合著）、《数的出现》（The Emergence of Number，1987）、《九章算术：导读与注释》（The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion & Commentary，2000，合著）、《程序就是证明：柯里—霍华德对应》（Adapting Proofs-as-Programs: The Curry-Howard Protocol，2005，合著）、《成长的数字观》（Growing Ideas of Number，2007）等。

夏素敏  南京大学哲学博士，中国社会科学院哲学研究所副研究员。主要研究方向为道义逻辑、逻辑哲学等。出版有专著《道义悖论研究初探》等。

闫佳亮  中国社会科学院研究生院哲学系硕士研究生在读。主要研究兴趣为哲学逻辑、逻辑哲学等。

值得多说两句的是，我们自己在讲授过程中获益良多，听众的反馈也超出了我们的想象。十分感谢莫纳什大学的约翰·麦吉里（John McGechie）副教授和墨尔本大学的道格拉斯·加斯金（Douglas Gasking）教授在这一过程中所给予我们的大力支持，也非常感谢丹尼斯·鲁宾逊（Dennis Robinson）和特里·贝姆（Terry Boehm）对克里斯·布里克希尔在准备这些讲稿时所提供的帮助。最后，我们感谢安妮—玛丽·范登堡（Anne-Marie Vandenberg），她专业的打字工作使本书顺利面世。

约翰·N．克罗斯利

引  论

第一章　历史概览

第二章　谓词演算的完全性

第三章　模型论

第四章　图灵机与递归函数

第五章　哥德尔不完全性定理

第六章　集合论

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译  者  序

这是一本“小书”，章节不多，篇幅很短。正如本书前言中提到的，几位作者希望能通过这本“小书”向读者介绍数理逻辑中最为重要的那些部分，展示数理逻辑的精彩和活力。这看似简单，实际上很不容易做到，既要考虑内容的选择，又要完善讲解的方式。

本书主体部分共六章，分别介绍了逻辑学发展史概况、谓词演算的完全性、模型论、图灵机与递归函数、哥德尔不完全性定理以及集合论。第一章“历史概览”展示了逻辑学学科的发展史，并将全书选取的几个重点关联在一起，给读者一个整体认知。第二章介绍“谓词演算的完全性”。谓词逻辑是数理逻辑的基本组成部分，完全性是形式系统研究中一个不可或缺的性质，我们希望可以在谓词逻辑系统中得到所有的普遍有效式。实际上，完全性定理带给我们的比期望的还要多。第三章“模型论”从句法研究转入语义研究，讨论了三个独立的主题：带等词的谓词演算、紧致性定理和洛温海姆—斯科伦定理。第四章“图灵机与递归函数”的主线是，在尝试定义可计算性的过程中却导致了计算不可解问题。由于谓词演算的普遍表达力，这个问题就被转化到逻辑中，也因此导致了逻辑有效性问题的广义不可解性。第五章“哥德尔不完全性定理”从希尔伯特纲领引入，指出简单的形式算术就已经把“寻找含且仅含真算术命题的形式系统”的希望打碎了。而后给出了哥德尔不完全性定理的证明思路，这个定理就是要找到那个“真但不可证的公式”。第六章“集合论”采用了尽量非形式的方式给出公理化集合论中的基本概念、公理以及遇到的问题。

数理逻辑是一门充满活力的基础学科，各个领域的人们都越来越认识到其重要性。但不可否认，很多人仍然认为数理逻辑太难懂，并且不知如何运用。本书选择的几个主题都是数理逻辑研究中极为重要的部分，这几部分串在一起便回答了“数理逻辑是什么”的问题。对于关注数理逻辑但并不具备数理基础的读者来说，能够起到点拨和指引作用。同样不可否认的是，在这样简短的篇幅内，想要真正达到作者们的既定目标相当困难，特别是对于没有数学训练基础的读者，要真正把握书中的方方面面仍然是有难度的。所以，作者也说，要想深入了解数理逻辑的细节，还需学习一门专业的课程以补充本书所省略的部分。希望这本“小书”能激发更多的人去寻求对数理逻辑的更深了解。

本书原版出版于1972年，问世之初，得到了当时许多逻辑学家的肯定和好评。主要作者约翰·N.克罗斯利（John N. Crossley）是一位声望很高的逻辑学家。全书基于几位作者不同时期在莫纳什大学和墨尔本大学报告过的讲稿逐渐演化而来，曾经得到听众的广泛欢迎。但也正是因为由讲稿汇集和整理而成，本书不可避免地尚存一些问题。实际上，对于原著也存在一些批评之声，认为作者们并未达成最初的目标，或者说写得并没有那么“通俗易懂”。同时也指出，这些批评与本书整体计划的性质无关。作为逻辑学者，向更多的读者讲清楚“数理逻辑是什么”不仅是必要的工作，而且是艰巨的任务。

本书的翻译由夏素敏和闫佳亮共同完成，前者负责前言、第一章、第四章和第五章，后者负责第二章、第三章和第六章以及推荐读物和索引部分。闫佳亮进行了全书的整理和统稿，夏素敏对全书进行了校对。对于本书的翻译完成，还要特别感谢中国社会科学院刘新文研究员提供的原始资料和具体指导，感谢南京大学张建军教授的有益建议，感谢中国人民大学余俊伟教授提出的重要意见。

虽是“小书”，但翻译起来也并非易事，其中肯定还存在一些问题和失误，期待各位读者给予批评指正。

译者
2018年8月